220227

量子力学

薛定谔方程就是量子化之后的结果，是量子化平面波的演化方程。所以在求解例如谐振子问题，求解过程中采用幂级数求法，n是分立取值则是对量子化的印证。例如Griffiths和曾谨言书上的求解步骤。

数学物理方法

Fourier Transformation：

\(f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(k)e^{ikx}dx\)

\(f(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx\)

积分变换求解的好处，例如傅里叶变换 可以将偏微分方程变为常微分方程，便于求解只需要最后在用逆变换便可以在动量空间和坐标空间来回穿梭。

格林函数法求解。

傅里叶变换的不足在于要想求得某一频率ω的频谱，需要对所有时段的t进行积分，任何有限频段的f(ω)都不能确定任意小时间的信号f(t)。 普通的傅里叶积分变换是定义于Banach空间(\(L^1\) 空间上的。

为了研究局部范围的频率特征，可以采用Fourier-Gabor 变换。 重定义变换共识后，可以找到任一局部范围内的频率特征，并且窗口位置会随着参数b平移。

小波变换，可以变焦，对高频信号检测窗口窄，低频信号检测窗口大。

简明量子场论

先不写讲义了，还有四十页书看到重正化，预计周二晚上之前看完吧。 然后每天写一章的讲义，温故一下前面的。 然后看重正化，40页。周五晚上之前看完，开始做习题。Peskin&王正行。

220226

钟玉泉复变函数指导书

重要积分公式

\(\int_C \frac{dz}{(z-a)^n}=2\pi i \delta_{n1}\)

柯西积分

\(\int_c\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=2\pi i f(z)\)

柯西高阶导数公式

\(\int_c\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}^{n+1}d\zeta=\frac{2\pi i}{n!}f^(n)(z)\)

王正行量子场论

220225

wyle & Dirac方程有内部对称性。 所谓内部对称性是指量子场论中量子力学部分，发生在hilbert空间。 例如空间反演对称性在狭义相对论中是洛伦兹变换的一种肯定存在，那么在量子力学部分，是都有对应的变换呢？ 通过解变换方程，有解，则整体有对称性。无解则整体无对称性。 就比如 Dirac方程描述的粒子有时空反演对称性，Wyle方程则无。

220224

原来所谓质量起源不过是场之间的耦合，质量是对复杂物理的一种描述。例如对于自旋为1/2的无质量粒子，假设他们之间可以耦合，耦合常数为m，便可以从weyl方程转化为Dirac方程。

四速度是四速度，光速是三速度。非惯性系是绝对的。

广义相对论

\(ds^2=g_{ij}dx^idx^j\)

\(E=mc^2\)

220223

粒子物理标准模型

1.好的理论物理学家是好的数学家也是好的程序员。

2. 标注模型简介 SU(3)*SU(2)*U(1) Lagrangian 协变微分

3. QCD Feyman Rule. 裸场拉氏量& 裸场协变微分 -> 利用维数正规化 添加正规化因子 -> 重正化的拉氏量&协变微分 (1) 真空外腿图 费米子，胶子，鬼场粒子。 (2) 费米子场旋量 极化矢量 正交归一关系 完备关系 （3） 费米子内线 胶子 鬼场粒子 内线。 （4） 费米子 胶子顶点图 三胶子 四胶子 两鬼场粒子胶子 顶点图。

王正行简明量子场论

规范场论

1 推导有相互作用的系统 即 非自由哈密顿量 路径积分的量子力学 。 利用Zassehaus公式，喀书上有详细推导， 可以把势能项 与动能项完全分开， 然后利用推导自由哈密顿量时的公式 即可推到。 但是存在一个严重问题，被积函数是 e^(iS[x]) 非常震荡， 计算机会出现“符号问题”，解决办法有平均场理论和wick 转动， wick 转动是把闵氏空间的时间轴转到虚轴 相当于把t_m 用-it_e 替代，讨论欧式空间下的跃迁矩阵，最后结果再用wick转动转回去即可。

220222

广义相对论：

1 课程覆盖内容： Einstein SR-> Einstein GR -> Block Hole.

2 引力性质： Universal， 无法屏蔽。 想要是长程力 传播子得是无质量的。最弱的力，电磁力的10^-36

引力和电磁力十分类似，但是引力无法重整。

3 广相可以解决： 水星进动，相对论性的协变引力理论，Einstein 方程，测地线方程。

4 相对论效应，SR v/c ~1 GR 星球表面逃逸速度达到 V_esc/c ~O(1) that is Sqrt(2GM/R)/c ~O(1) , GM/RC^2 ~ O(1). 地球 10^-9 ,GPS必须考虑 相对论效应+引力红移效应。 中子星 0.2 Block Hole & Cosmology ~O(1).

Lie Group & Lie Algebra

1 李群：一类连续群(空间光滑）李代数: 李群的无穷小生成元。

2 全局对称性 （1） 连续时空对称性 Conformal Group， Poincare Group， （2） 离散变换对称性 CPT （3） 置换群 全同粒子交换对称性 （4） 粒子物理中Global Symmetry 重子数 轻子数守恒的U(1) 近似的SU(3) Flavour 近似 ，Color。（5） 范畴的全局对称性。

3 局域对称性 规范对称性 理解为系统的冗余度。（1） 连续时空对称性 广相中的微分同胚对称性 （2） 粒子物理中的规范对称性 SM中SU(3)*SU(2)*U(1). (3) 凝聚态中的离散规范对称性 （4） Higher group gauge theory。

4 Center of G与Nomal group 区别。 Center of G一定是 正规子群，正规子群不一定是 Center of G， 因为Nomal group 是指任一元素 gH=Hg，每个元素不一定互相对易， Center of G 与每一元素互相对易，所以一定有 gC=Cg。

5 群的直积: G H 没有乘法，直积群为有序数对，GH有乘法要求　gh=hg。

6 环 Ring， is a set R with a binary operation “.” R x R->R and a binary operation “+”: R+R->R s.t. 1. Abelian Group under + 2. exists unique multilplicative identity element 1. 3. Distribution Low.

Example: 1 Integers 2 n*n Matrices.

7 域 Feild， Filed is a ring F where the multiplication * also have the struction of abelian group. For any a ieq 0 in F, with a unique element a^-1 s.t. a*a^-1=1.

Examples: 1 Real number R 2 Complex number C 3 Rotioal number Q.

王正行量子场论

220221

今天花了很长时间直到PZ考研复试的事情，但是也是反复印证了一件事，如果有一个清晰的符合实际的目标，你努力去做一件事，就一定可以成功的。 但闻耕耘不问收获，学习物理更是如此，需要长久的付出，但是付出就是一定会有收获的。

王正行近代物理题解

今天先做了几道题目，遥远星体光线红移问题，但是时间不够了 没有直观的想明白为什么 算频率时要用爱因斯坦膨胀时间 和（C+V）*T的长度来计算。 如果考虑波动性 直接用lorentz变换的话 也是可以直接做出来的。

零质量粒子不可能具有内部结构，是真正的基本粒子。是否可以证明，所有含有质量的粒子都不是基本粒子？

超光速实验只是探讨光与物质相互作用，并没有涉及光子自身性质。狭义相对论并没有禁止超光速现象。

狭义相对论中，爱因斯坦从光速不变出发，推广了光子的间隔不变到所有事件，引出了Minkowski Space和四维间隔不变。

另外还上了规范场论，推导量子力学+最小作用量原理导出的路径积分。

思路是：

1量子化平面波 把平面波从 e^i*(kx-wt) 量子化 成为 e^(i*S/hbar) 其中S为作用量

2 引入线性相关的数学描述， 利用量子力学是线性的，将波函数的演化用线性相关的数学描述出来。引入传播子 G(x t x’ 0)

3 利用费曼多边折道法 利用离散化思想 描述路径积分 可以成功推导出Schordinger方程 印证了量子力学是线性的。

4 利用演化算符计算振幅，利用普适的（对哈密顿量）路径积分表达式，带入最简单的自由H，计算出路径积分表达式的归一化因子。

5 最后推导出了 路径积分表述的量子力学表达式。

220220

王正行量子场论

今天主要看了王正行先生的简明量子场论，经典场和标量场的量子化，做了两道SR质点动力学习题，并且搞明白了到底什么是钟慢尺缩效应。

简明量子场论：量子场论是描述粒子物理，粒子的运动是时空中分布的场，粒子之间存在相互作用表现为场之间的耦合。粒子有各自的性质表现为各种场具体的对称与变换性质。 量子场论是粒子运动的动力学模型。是Hilbert空间+Minkowski空间，即QM+SR。相互作用由交换规范场的粒子来实现。 内部对称性，内部空间是由特定场组成是Hilbert空间的子空间，量子场论描述这些内部空间的物理，给出了具体粒子的分类。

量子场论是点模型，数学上存在无限大，空间范围有下限，导致重正化。

狭义相对论表明，任何时空过程都发生于Minkowski Sapce。 
量子力学表明，任何微观物理过程都发生于Hilbert空间。

那么广义相对论物理过程发生于什么空间？ 从微观过程过渡到宏观过程的界限是什么？例如量子力学过渡到经典力学，是否为Hilbert空间过渡到欧几里得空间，那么界限是什么？如何准确的解析的描述? 杨泽森书，量子力学的经典极限。

量子场论中涉及到物理量，但是只是涉及到散射截面，并没有引入观测者的作用。

Lagrange力学优点是容易满足协变性要求，Hamiltonian力学是便于正则量子化。

d^4x=cdtd^3x 四维体积元，Lorentz不变，体现在Jacobi行列式上。对作用量变分可以得到两个最重要结果，E-L方程以及Noether定理。

在诺特定理中要求 对作用量的变分时，一直保持场要满足E-L方程，对x^mu 和φ场的变分有了限制，这表明，守恒流对应着Lagrange量在变换下具有不变性，这就是群论中提到的对称性。也就是说拉氏密度的某种对称性对应于某个守恒定律，同时从四维流守恒定律中对时间的微分可以提取出守恒量。Page 12

220219

马中琪 物理学中的群论 李代数篇

置换群元素乘积计算，轮换，轮换长度l 阶为l。置换的轮换结构可以用配分函数给出。

轮换切换为两个轮换，(a b c d)=(a b c)(c d).

陪集，子群，循环群，子群指数，d指陪集个数。

不变子群，指数为2的必为不变子群。

范德蒙行列式证明任何置换可以分解为奇置换还是偶置换是确定的。

分析群，找群的类和不变子群。

对于有限群，根据群乘法表确定元素的阶数，然后在相同阶数元素中判断是否同类，把积累组合起来，判断是否构成子群。若是则是不变子群。

比较数学的分析Dn群的二次轴和N次轴见马书17页。

同态与同构的区别在于，同态核内部元素的差别并没有体现出来。

群的直积。

220218

王正行 近代物理学题解

今天做了3.9-3.13 花了三个小时，主要是公式推导。

对于Lorentz变换矩阵，由于它是对称矩阵并且关于斜对角线也是对称的因此，x0坐标可以放在最下面也可以放在最上面，结果是一致的。 还是自己动手推导，光看是看不出来的。

静止系到动系要用到洛伦兹变换矩阵，γ -βγ。

动系到静止系变换要用逆洛伦兹变换矩阵 γ βγ。 洛伦兹变换矩阵不变，考虑到动系里的粒子运动方向变换时，只需对四动量的符号做变换，而洛伦兹变换矩阵保持不变。

实验室下已知粒子运动 考虑衰变后产物信息，一般用质心系（动心系）来过度一下。 这时候要灵活运用洛伦兹变换和动心系的条件，即总动量为0。动心系对于实验室系的总速度不一定为0。

对于不熟悉的公式，查书之后仍然需要花时间弄清楚每个量的含义才能运用的话说明并未熟练掌握，还需要自己再推到几遍。

学习物理一定要有记忆，头脑中没有清楚的记住何谈理解？没有理解的可以先记住，慢慢的也是可以懂的。

有效数字问题，已知最低是两位，中间可以多取两位如四位，最后结果取两位有效数字。

马中琪 物理学中的群论 李代数篇

对称的概念与变换联系在一起，所谓对称就是指的在多少种对称变换下保持不变。对于量子力学，描述系统的量就是哈密顿量，所谓系统的对称性高低就是看保持哈密顿量不变的对称操作多与少。

对于DN群即，整N多边形对称群，有更深刻的数学描述，两部分C_N群以及二阶对称轴组成的N个元素的集合。 马中琪老师，李群李代数篇，P7，1.10有更精彩的描写。

今天还搞明白两个问题，一个是[n cdot L, P]对易子怎么写成矢量分析中的叉乘形式。

一个是 四维时空的两种描述方式，庞加莱提出的x y z ict ,以及Minkovski提出的 x y z t。 他们之间差一个wick转动 可以把欧氏时空转到闵氏时空。 拓扑整个变了，直觉上把SO4群变成了Lorentz群。 明天要写一份讲义好好讨论这个事。

220217

王正行 近代物理题解

今天做了几道近代物理题。 800GeV质子和200GeV质子，接近光速，速度仅差3000m/s。 但是快度的绝对差距再百分之18左右。 快度是新概念，用于描述高能物理中的现象，所谓高能是指的粒子的动能超过静质能量级，相对论效果显著。

E=γmc^2 E_k=E-mc^2

P=γmv 快度 Tanh Y= β CoshY= γ。 极端相对论粒子类似光子。

相干产生，左旋K0介子入射到铅砖变为右旋K0介子，产生类似吸引力的效果。 量子效应？

做计算要带入所有公式，最后带入数据，减小误差和出错的程度。 标记取近似的地方。

高能核子轰击重离子核所采用的模型竟然是高中水平。如此简单，可能是计算难易程度的原因吧。

俞允强 广义相对论引论

其次看了广相，先看狭义相对论部分。

广相出发点，一切参考系，惯性非惯性描述物理规律应该是平权的。另外引力理论应该是协变的。 提出等效原理，引力与惯性力不可区分—> 广义相对论的线索。

MaxWell理论伽利略变换下变化，E，B变化后安培定律，法拉第定律都会变。 爱因斯坦紧抓光速不变，惯性系物理一致->SR 线索。没有好的惯性系，速度多大，多么静止，完全是相对的概念。

广相的目标，找到引力势与引力源的方程。 牛顿引力是静止引力源，爱因斯坦是所有引力场。

复习张量分析，张量定义，不同坐标系之间的变换。 张量就是研究数组与坐标系之间的关系。

对称张量() 反衬张量[]。

标量随便平移，协变矢量，逆变矢量平移，主要是想讨论张量减法，紧接着是张量导数，定义一个联络场来强行定义平移之后的矢量仍然为张量。 协变逆变平移公式不同。 、

协变微商没看完，为啥没有逆变微商？